Exercícios resolvidos de Arranjo Simples 

 

 

1 . Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados?

Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:

25 . 24 . 23 = 13800
Isto é, 13800 possibilidades.


2. Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?


 temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A_8, 8:





3.  Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?


Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7 corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A_7, 3:

4.  Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?


Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos. Devemos calcular A_10, 2:

Exercícios resolvidos de combinações  simples

 

1 – Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.

Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (m_i):  

resposta :

 

2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.

resposta:

 

3. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?

resposta:

comissões.

4. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

resposta:

modos.

 

5. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

resposta:

  saladas

Combinações Simples

 

 Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.

Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p.

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos:
C6,2 

Arranjo simples

 Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos.

exemplo :A8,4

Introdução à Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!



 Permutaçâo simples e fatorial de um numero

permutar é sinônimo de trocar. intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de misturar.

vejamos agora quantos agrupamentos é popossível formar quando temos N elementos e todos serão usados em cada agrupamento. observe os exemplos:

1º) quantos numeros de 3 algarismos (sem repeti-los num mesmo número ) podemos formar com os algarismos  1, 2 e  3?

podemos resolver por tentativa.assim temos; 123, 132, 231, 312 e 321. concluímos entao que são seis os numeros preucurados. podemos também fazer uma àrvore de possibilidades;

pelo princìpio fundamental da contagem temos 3. 2. 1=6 possibilidades.

observe  que a ordem dos algarismos è muito importantes. todos os nùmeros diferem entre sì pela ordem de seus algarismos.

Teoria dos conjuntos 

Notação de conjuntos  

---> Basicamente , usamos três maneiras para representar os elementos de um conjunto.

1° Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. (mesmo quando possui infinitos elementos ) indicamos - lo escrevendo seus elementos entre chaves e separados por vírgulas. Exemplos:

conjuntos das vogais : {a,e,i,o,u}

2° Podemos também representar um conjunto enunciando uma propriedade comum aos seus elementos :   

A = {x/x possui tal propriedade }

A barra vertical quer dizer " tal que ".

3° Um terceiro modo é representar seus elementos por pontos dentro de uma linha fechada que não se entrelaça.

A este modo de representar dá-se o nome de diagrama.

Curiosidades  sobre conjuntos

 A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc.