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Curiosidade: História da Probabilidade

O interesse do homem em estudar os fenômenos que envolviam determinadas possibilidades fez surgir a Probabilidade. Alguns indícios alegam que o surgimento da teoria das probabilidades teve início com os jogos de azar disseminados na Idade Média. Esse tipo de jogo é comumente praticado através de apostas, na ocasião também era utilizado no intuito de antecipar o futuro. 

O desenvolvimento das teorias da probabilidade e os avanços dos cálculos probabilísticos devem ser atribuídos a vários matemáticos. Atribui-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (séc. XVI) as primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Através de estudos aprofundados, outros matemáticos contribuíram para a sintetização de uma ferramenta muito utilizada cotidianamente. Dentre os mais importantes, podemos citar: 

Blaise Pascal (1623 – 1662)
Pierre de Fermat (1601 – 1655)
Jacob Bernoulli (1654 – 1705)
Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
Lenis Poisson (1781 – 1840) 
Os alicerces da teoria do cálculo das probabilidades e da análise combinatória foram estabelecidos por Pascal e Fermat, as situações relacionando apostas no jogo de dados levantaram diversas hipóteses envolvendo possíveis resultados, marcando o início da teoria das probabilidades como ciências. 

As contribuições de Bernoulli enfatizaram os grandes números, abordando as combinações, permutações e a classificação binomial. Laplace formulou a regra de sucessão e Gauss estabelecia o método dos mínimos quadrados e a lei das distribuições das probabilidades. 

Atualmente, os estudos relacionados às probabilidades são utilizados em diversas situações, pois possuem axiomas, teoremas e definições bem contundentes. Sua principal aplicação diz respeito ao estudo da equidade dos jogos e dos respectivos prêmios, sendo sua principal aplicação destinada à Estatística Indutiva, na acepção de amostra, extensão dos resultados à população e na previsão de acontecimentos futuros.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E₁ ou E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ e E₂)

De fato, se existirem elementos comuns a E₁ e E₂, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E₁) e P(E₂). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E₁ e E₂).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E1 ou E₂ ou E₃ ou ... ou E_n) = P(E₁) + P(E₂) + ... + P(E_n)

Exemplo: Se dois dados, azul e  branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Probabilidade Condicional

 Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

 Fórmula de Probabilidade Condicional

 P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) é igual a P(E₁).P(E₂/E₁).P(E₃/E₁ e E₂)...P(E_n/E₁ e E₂ e ...E_n-1).

 Onde P(E₂/E₁) é a probabilidade de ocorrer E₂, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E₁;

P(E₃/E₁ e E₂) é a probabilidade ocorrer E₃, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E₁ e E₂;

P(Pn/E₁ e E₂ e ...E_n-1) é a probabilidade de ocorrer E_n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E₁ e E₂...E_n-1.

    Exemplo:

    Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

    Resolução:

    Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

    A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

    B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

    Assim:

    P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

 Eventos independentes

    Dizemos que E₁ e E₂ e ...E_n-1, E_n são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

    Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

    P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) = P(E₁).P(E₂).p(E₃)...P(E_n)

    Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades Importantes

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

PROBABILIDADE

    A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório

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    Experimento Aleatório

    É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

 Espaço Amostral

    É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

    Exemplo:

    Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:

    S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:

a)      A ou B ocorrem;

b)      B e C ocorrem;

c)      Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:  A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B  Ç  A^c  Ç  C^c   =   {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ

Exercícios resolvidos de Arranjo Simples 

 

 

1 . Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados?

Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:

25 . 24 . 23 = 13800
Isto é, 13800 possibilidades.


2. Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?


 temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A_8, 8:





3.  Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?


Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7 corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A_7, 3:

4.  Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?


Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos. Devemos calcular A_10, 2:

Exercícios resolvidos de combinações  simples

 

1 – Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.

Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (m_i):  

resposta :

 

2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.

resposta:

 

3. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?

resposta:

comissões.

4. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

resposta:

modos.

 

5. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

resposta:

  saladas

Combinações Simples

 

 Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.

Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p.

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos:
C6,2 

Arranjo simples

 Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos.

exemplo :A8,4

Introdução à Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!



 Permutaçâo simples e fatorial de um numero

permutar é sinônimo de trocar. intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de misturar.

vejamos agora quantos agrupamentos é popossível formar quando temos N elementos e todos serão usados em cada agrupamento. observe os exemplos:

1º) quantos numeros de 3 algarismos (sem repeti-los num mesmo número ) podemos formar com os algarismos  1, 2 e  3?

podemos resolver por tentativa.assim temos; 123, 132, 231, 312 e 321. concluímos entao que são seis os numeros preucurados. podemos também fazer uma àrvore de possibilidades;

pelo princìpio fundamental da contagem temos 3. 2. 1=6 possibilidades.

observe  que a ordem dos algarismos è muito importantes. todos os nùmeros diferem entre sì pela ordem de seus algarismos.

Teoria dos conjuntos 

Notação de conjuntos  

---> Basicamente , usamos três maneiras para representar os elementos de um conjunto.

1° Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. (mesmo quando possui infinitos elementos ) indicamos - lo escrevendo seus elementos entre chaves e separados por vírgulas. Exemplos:

conjuntos das vogais : {a,e,i,o,u}

2° Podemos também representar um conjunto enunciando uma propriedade comum aos seus elementos :   

A = {x/x possui tal propriedade }

A barra vertical quer dizer " tal que ".

3° Um terceiro modo é representar seus elementos por pontos dentro de uma linha fechada que não se entrelaça.

A este modo de representar dá-se o nome de diagrama.

Curiosidades  sobre conjuntos

 A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc.